2015년 6월 4일 목요일 시행된 한국교육과정평가원이 주관한 2016학년도 대학수학능력시험 6월 모의 평가 수학 A형(문과) 고난도 킬러 문항인 21번, 29번, 30번 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 최근 6월 모의 고사의 고난도 킬러 문항에 대한 풀이 및 해설은 아래 링크를 참조하십시오. [수학1등급] 2018학년도 대학수능 6월 모평 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2017학년도 대학수능 6월 모평 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [문과 21번 문제의 풀이 및 해설]
『자연수 n 에 대하여』삼차함수 f(x) 의 극댓값 an 이 자연수가 되게 하는 n 의 최솟값을 구하라고 하였습니다. 문제를 읽으면서 무슨 뜻인가가 잘 잡히지 않아서 위와 같이 조건을 적어 보았습니다. 『자연수 n 에 대하여』... 모든 자연수 n 에 대하여 f(n) = 0 이라는 것은 말이 안되니, f(n) = 0 인 어떤 자연수가 존재한다로 조건 (가)를 해석해야 겠고요... 이 자연수 n 에 대하여 조건 (나)가 성립한다고 해야 겠습니다. 일단, 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x) 를 아래와 같이 두고,
 조건 (나)의 절대부등식을 미분으로 살펴 보아야 겠습니다. 이 사차함수를 g(x) 로 두면, 조건 (나)는 이 사차함수의 최솟값이 0보다 작아서는 안된다는 의미가 됩니다. 흠~~~ 이 사차함수 g(x) 를 미분해야 하는 것이 아니네요... x = ±n 에서 g(x) = 0 이면,,, x = ±n 에서 이 사차함수 g(x) 의 값이 0이므로 이 두 곳에서 극소가 되어야 합니다. 그래야 모든 실수 x 에 대하여 (x + n)f(x) 가 항상 0 이상이라는 조건 (나)가 충족됩니다. 그렇다면, 최고차항의 계수가 1인 사차함수 g(x) 는 아래와 같이 되어야 겠고, 따라서, 삼차함수 f(x) 가 아래 주황색과 같이 됩니다. 미분하여 극댓값 an 이 자연수가 되게 하는 n 의 최솟값을 생각해 보면, 아래에서 3이 되겠습니다. 정답은 오지선다형 ③번. 아래 그림은 참조용입니다. [문과 29번 문제의 풀이 및 해설] 교점의 개수를 가리키는 함수 f(t) ... 모든 실수 t 에서 정의되고, 그 함숫값은 아래와 같이 됩니다.
최고차항의 계수가 1인 이차함수 g(t) 에 대하여, 함수 f(t)g(t) 가 모든 실수 t 에 대하여 연속이라고 하였습니다. 함수 f(t)g(t) 가 위와 같고 다항함수이므로, t = 0, t = 1 에서 연속이면 모든 실수 t 에 대하여 연속이 됩니다. 다항함수의 극한이 함숫값이 되어야 함을 생각하면, f(0)g(0) = 0 = 2g(0) = 4g(0) 과 f(1)g(1) = 4g(1) = 3g(1) = 2g(1) 이 성립하는 구조이겠는데, f(0) = 2, f(1) = 3 이므로 g(0) = g(1) = 0 이어야만 합니다. 따라서, 그렇다면, f(3) + g(3) = 2 + 3(3 - 1) = 8 이 되네요... 아래 애니메이션도 참고하십시오. [문과 30번 문제의 풀이 및 해설] 지수함수 또는 로그함수 문제에서 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b) 의 개수를 묻는다거나, 순서쌍 (a, b) 의 존재 영역을 좌표평면에 표시해 보아야 하는 등의 유형이 최고난도 문항인 30번에 자주 배치되고는 합니다. [수학1등급] 2017학년도 대학수능 6월 모평 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 A형 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수학1등급] 2015학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 및 해설 [수능30번] 2012학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설 조건 (가)에 따르면, 순서쌍 (a, b) 는 자연수 n 을 밑으로 하는 로그함수의 아래쪽 영역(경계포함)에 위치합니다. 언제? a < n^k 일 때... a ≥ n^k 일 때는 조건 (나)에 의하여 순서쌍 (a, b) 는 위로 볼록한 포물선의 아래쪽 영역(경계포함)에 위치합니다. 위로 볼록한 포물선의 꼭짓점의 좌표가 (n^k, k^2) 로서, 제1사분면에 있고요,,, 이 포물선의 축의 왼쪽에서는 조건 (가) 로그함수에 의하여 b ≤ k 이고, 진수 조건에 의하여 a > 0 입니다. 아~~~ a, b 가 자연수라는 조건이 있군요... 그렇다면 순서쌍 (a, b) 는 좌표평면에서 자연수점(☞ 격자점)이군요... 아래 애니메이션은 n = 2 로 고정시켜 놓고, k = 4, 5, 6 으로 바꾸어 가면서 주황색 로그함수, 파란색 포물선을 그려 본 것인데요,,, 그렇다면, 조건 (가)를 만족하는 순서쌍 (a, b) 는 주황색 영역에 있는 자연수점이고, 조건 (나)를 만족하는 순서쌍 (a, b) 는 파란색 영역에 있는 자연수점이 되겠습니다. 곡선 부분은 포함되고, 포물선의 축 위에 있는 자연수점들은 주황색 영역에는 포함되지 않고, 파란색 영역에만 포함됩니다. 결국, 조건 (가), (나)를 만족하는 모든 자연수점은 아래 주황색/파란색 영역에 속하는 자연수점이 됩니다(경계포함). 2이상의 자연수 n 에 대하여 함수 f(n) 을 정의하고 있는데요... 묻고 있는 것이 f(2) × f(3) × f(4) 의 값입니다. f(n) 은 자연수 n 이 주어질 때, 위 영역 안에 포함된 자연수점의 개수가 300개 이상이 되게 하는 자연수 k 의 최솟값을 함숫값으로 가집니다. 따라서, n = 2, 3, 4 네 경우에 대해서만 살피면 되겠는데요,,, 위 애니메이션은 n = 2 일 때이지만, 일반적으로 임의의 자연수 n , k (n ≠1) 에 대하여 영역 안에 포함된 자연수점의 개수를 n , k 에 관한 식으로 나타낼 수 있어 보입니다. 임의의 자연수 n , k (n ≠1) 에 대하여, 주황색 영역에 포함된 자연수점의 개수와 파란색 영역에 포함된 자연수점의 개수를 합해 주면 되는데요... 먼저, 주황색 영역에 포함된 자연수점의 개수는 (n , 1) ~ (n^k, 1) 까지 (n^k - n ) 개 (n^2 , 2) ~ (n^k, 2) 까지 (n^k - n^2 ) 개 (n^3 , 3) ~ (n^k, 3) 까지 (n^k - n^3 ) 개 …… (n^(k-1) , k-1) ~ (n^k, k-1) 까지 (n^k - n^(k-1)) 개를 모두 합해 주면 됩니다. 포물선의 축 위에 있는 점은 제외하였습니다. 계산하면, 다음, 파란색 영역에 포함된 자연수점의 개수... 포물선의 축보다 오른쪽에 있는 x 절편이 아래와 같으므로 x 의 구간 [n^k, n^k + k)에 있는 자연수 x = n^k, n^k + 1, n^k + 2, …, n^k + k-1 이고, 이들 각 자연수에 대해서 포물선 위의 점의 y 좌푯값은 이차함수 식에 대입해 보면 위 애니메이션에 표시한 바와 같이 자연수점입니다. 따라서 x = n^k 위의 자연수점은 1 ~ k^2 까지 k^2 개 x = n^k+1 일 때 1 ~ k^2 - 1 까지 k^2 - 1 개 x = n^k+2 일 때 1 ~ k^2 - 4 까지 k^2 - 4 개 x = n^k+3 일 때 1 ~ k^2 - 9 까지 k^2 - 9 개 …… x = n^k+k-1 일 때 1 ~ k^2 - (k-1)^2 까지 k^2 - (k-1)^2 개이므로, 이들 모두를 더하면, 인수분해가 된다면, 뒤에서 조사하기가 유리하겠군요... 이상에서, 임의의 자연수 n , k (n ≠1) 에 대하여 영역안에 포함된 자연수점의 개수를 N(n , k) 라 하면, 가 됩니다. n = 2, 3, 4 에 대하여 N(n , k) ≥ 300 이 되는 k 의 최솟값을 계산할 차례입니다. k = 1, 2, 3, … 을 대입해서 어느 정도 계산해 보면, 에효~~~ 계산량이 많네요... 따라서 f(2) × f(3) × f(4) = 6 × 5 × 4 = 120 이상입니다.
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미적분2 이고 다음 조건을 만족시킨다 8이하의 어떤 자연수 n에 대하여
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