8이하의 어떤 자연수 n에 대하여

제26회 KMO 중등부 1차(2012.5.19) 정수영역 기출문제 풀이 및 해설입니다.

정수 영역 5문항입니다.

배점은 문항 끝에 표시해 두었습니다.

20문항 전체의 복사본과 다른 영역의 풀이 및 해설은 ☞ [KMO2012기출] 26회 중등부 1차(2012.5.19) 기출문제 풀이 및 해설을 참조하십시오.

그리고 년도별 정수영역 풀이 및 해설은 아래 링크를 참조하십시오.

☞ [KMO2015기출] 29회 중등부 1차(2015.5.16) 정수영역 기출문제

☞ [KMO2014기출] 28회 중등부 1차(2014.5.24) 정수영역 기출문제

☞ [KMO2013기출] 27회 중등부 1차(2013.6.1) 정수영역 기출문제

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[풀이 및 해설] 

1. 어떤 양의 정수를 2진법으로 표현하면 마지막 세 자리가 011이고, 5진법으로 표현하면 마지막 세 자리가 101이다. 이 수를 10진법으로 표현할 때 마지막 세 자리를 구하여라. [4점]

8×125는 1000입니다.

따라서 10진법으로 1000의 자리 이상의 자리숫자들이 2진법이나 5진법의 마지막 세 자리 수에 영향을 끼치지 않습니다.

2진법 수 011은 홀수 3이고 5진법 수 101은 짝수 26입니다.

따라서 5진법 수의 125의 자리수가 1 또는 3이거나 그렇지 않으면 625의 자리수가 1 또는 3이어야 홀수가 됩니다.

5진법 수 1101은 2진법으로 10010111이고, 5진법 수 3101은 2진법으로 110010001입니다. 둘 다 아니네요...

5진법 수 10101은 2진법으로 1010001011입니다.

되었네요...

5진법 수 30101은 2진법으로 11101101101입니다.

(참조)

1101⇒125+26=128+23=128+16+7

3101⇒125+125+125+26=256+125+20=256+128+16+1

10101⇒625+26=512+113+26=512+128+11=512+128+8+3

30101⇒625+625+625+26=1024+512+256+109=1024+512+256+64+32+8+4+1

이상에서 10진법 수의 마지막 세 자리는 625 + 26 = 651 입니다.

7. 두 자리 양의 정수 중에서 양의 약수의 개수가 2의 거듭제곱인 수는 모두 몇 개인가? [5점]

두 자리 양의 정수 N을 소인수분해한 것이 위와 같다고 했을 때,

n = 1 즉, 약수의 개수가 두 개.

두 자리 소수 모두입니다. 적어 보면, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

모두 21 개입니다.

n = 2 즉, 약수의 개수가 네 개.

4 = 4×1 = 2×2

모두 30 개입니다.

n = 3  즉, 약수의 개수가 여덟 개.

8 = 8×1 = 4×2 = 2×2×2  

모두 10 개입니다.

n = 4  즉, 약수의 개수가 열여섯 개.

16 = 16×1 = 8×2 = 4×4 = 4×2×2 = 2×2×2×2 

더 이상 없네요...

이상에서 양의 약수의 개수가 2의 거듭제곱인 두 자리 양의 정수는 21 + 30 + 10 = 61 개입니다.

10. 다음 방정식의 양수해 중 1000을 넘지 않는 것의 개수를 구하여라. 단, [ x ]는 x 를 넘지 않는 최대 정수이다. [5점]

좌변이 세 정수의 합이므로 정수. 따라서 우변도 정수여야 하므로 x 는 정수입니다. 1000 이하의 양수해를 구하면 되므로 결국 x 는 1부터 1000까지 자연수가 해의 후보입니다.

위 가우스 기호가 1부터 x 까지의 분모의 배수의 개수임을 생각하면, 좌변은 1부터 x 까지의 2의 배수의 개수, 3의 배수의 개수 6의 배수의 개수의 합입니다.

가우스 기호를 푸는 방법으로 정수분류법이 적당해 보입니다.

x = 6m + k, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 로 놓으면,

아래와 같이 k 의 값에 따라 가우스 기호를 풀 수 있고 등식을 만족시키는 k 의 값은 5뿐임을 알 수 있습니다.

이상에서 등식을 만족시키는 x 는 1부터 1000까지 자연수 중 6으로 나눈 나머지가 5인 수입니다. 아래와 같이 세심하게 개수를 조사해보면 166 개입니다.

15. 양의 정수 M 에 대하여 M^5 의 약수 중 1보다 크고 루트(√)M^5 보다 작은 것의 개수를 2012라 하자. 이러한 M 중 가장 작은 수를 P 라 할 때, P 의 양의 약수 중 32의 배수이고 루트(√)P 보다 작은 것의 개수를 구하여라. [5점]

	TIP	고난도 중3수학에서
문장이 꼬여 있을 때는 대우명제를 생각해보는 것이 좋습니다. 1보다 큰 자연수 n 이 소수가 아닌 합성수라면, 반드시 √n 이하의 소수로 나누어 떨어진다... 가령 n 이 100이라면 10이하의 소수로 나누어 떨어집니다. 실제로 10보다 큰 소수 약수는 없습니다. 증명해 보겠습니다. 귀류법입니다. 결론을 부정하여 n 을 소수가 아닌 합성수라고 가정하면, n = ab 를 만족하는 1보다 큰 두 약수 a, b 가 존재하고, a 를 나누는 한 소수를 p, b 를 나누는 한 소수를 q 라 하면, pq 는 ab 를 나눕니다. 그러므로 pq ≤ ab = n 입니다. 만약 p, q 모두 √n 보다 크다면 pq > n 이 되므로 p, q 중 적어도 하나는 √n 이하가 됩니다. 즉, n 의 약수 중에는 √n 보다 작거나 같은 소수가 반드시 존재합니다. 이것은 작거나 같은 모든 소수에 의해 나누어 떨어지지 않는다는 가정에 모순이므로 n 은 합성수가 아니라 소수입니다.

위 TIP에서도 알 수 있듯이 약수는 루트(√)M^5 을 기준으로 큰 수와 작은 수의 곱으로 짝을 이룹니다.

M^5 이 제곱수라면 1을 포함한 모든 양의 약수의 개수는 (2012+1)×2 + 1 = 4027 개이고, M^5 이 제곱수가 아니라면 4026 개입니다. 

이와 같이 M 의 소인수분해를 생각해보면, 5제곱수인 루트(√)M^5 의 약수의 개수는 5로 나눈 나머지가 1이 되므로 4026개 입니다.

이제 4026을 소인수분해할 차례...

4026 = 2×3×11×61

4026을 5로 나눈 나머지가 1인 수들의 곱으로 나타내어 보면,

4026 = 1×4026

4026 = 6×11×61 

4026 = 66×61 

4026 = 6×671 

4026 = 11×366 

이제 이 다섯 개의 M^5 중에서 가장 작은 M 을 확정할 차례...

마지막으로 P 의 양의 약수 중 32의 배수이고 루트(√)P 보다 작은 것의 개수를 얻을 차례입니다.

루트(√)P 보다 작은 32의 배수는 아래와 같이 13개이고,

이 13 개 중에서 32Q가 P의 양의 약수가 되는 Q는 아래 P'의 약수여야 하므로 만족하는 Q는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 이렇게 10 개 입니다.

따라서 정답은 10 개입니다.

17. 양의 정수 n 을 두 개 이상의 연속한 양의 정수의 합으로 나타내는 방법을 생각하자. 예를 들어 15의 경우에는 7+8, 4+5+6, 1+2+3+4+5의 세 가지 방법이 있다. 999를 이와 같이 나타내는 방법의 수를 구하여라. [6점]

연속하는 양의 정수의 개수가 홀수일 때는 999를 아래와 같이 나타낼 수 있으므로,

만족하는 (x, k) 순서쌍을 조사해보면 (999, 0), (333, 3), (111, 4), (37, 13), (27, 18), (9, 55),  에서 4 쌍입니다.

연속하는 양의 정수의 개수가 짝수일 때는 999를 아래와 같이 나타낼 수 있으므로,

만족하는 (x, k) 순서쌍을 조사해보면 

(19, 27), (55, 9), (167, 3), (500, 1) 에서 3 쌍입니다.

따라서 정답은 4 + 3 = 7 입니다.