0 제곱 은 왜 1

0의 0제곱에 대한 궁금증이 증폭되고 있다. 0의 0제곱은 1이라는 주장도 있고 0이라는 주장도 있다. 아이러니하게도 그 두 주장 모두 틀렸다고도 할 수 없고 맞다고 할 수도 없다.

테스트로 컴퓨터를 이용해서 0의 0제곱을 풀어보자. 윈도우에 내장돼 있는 공학용계산기를 이용해 0의 0제곱을 계산해보면 1이라는 값이 나온다. 하지만 엑셀에서 0의 0제곱을 입력하면 '오류' 메시지가 뜬다. 수학용 프로그램인 '매스매티카'에서 0의 0제곱을 해도 'Inditerminate(정할 수 없는)'으로 처리된다. 답을 알 수 없다는 뜻이다.

계산기에서는 1로 처리되는데 다른 수학 프로그램에서는 처리를 할 수 없다고 하니 더욱 궁금해진다. 과연 0의 0제곱은 뭘까.

우선 0의 0제곱은 0을 0번 곱했다는 것에 착안해 생각해볼 수 있다. 거듭제곱의 개념에 착안해 0이라는 숫자를 n(자연수)개 곱했을 때, n이 자연수인 한 0의 n제곱은 0이 된다. 그렇다면 지수가 0이나 음수일 때는 어떨까? 0을 0개 곱하거나 -2개를 곱하거나 할 수 없기 때문에 곧이곧대로 정의하기가 어렵다. 따라서 '음수끼리 곱하면 양수'라는 설명처럼 합리적인 정의가 필요하다. 그것을 설명해 줄 수 있는 것이 '지수법칙'이다.

'지수법칙'에 따르면 a의 m승에 a의 n승을 곱하면 a의 m+n승이 된다. 만약 n이 음수일 때에는 a의 m-n제곱이 된다. 이 지수법칙에서는 a가 0이 아니라는 단서가 붙어야만 하므로, 이에 따라 0의 0제곱을 도출해낼 수 없다. 굳이 0을 대입해보고 싶다면 0의 0제곱은 0의 n-n승이 되고 이는 0의n승 나누기 0의 n승이 되므로 0나누기 0이 된다. 0에서 0을 나누는 건 수학적으로 무의미하다.

이에 따라 지수법칙을 따르더라도 0의 0제곱에 대한 어떤 정보도 얻을 수 없다. 단지 무의미한 공식이라는 것밖에는.

그렇다면 0의 0제곱이 1이라는 이론을 살펴보자.

x3-5x2+7x+2 이라는 식을 두고 생각해보자. 여기서 x3은 3차항, -5x2은 2차항이다. 7x는 1차항인데, 7x1이라 쓰면 차수를 알 수 있게 해 주므로 일관성이 있다. 남아 있는 상수항 2는 0차항으로 생각하는 것이 합리적이므로 2x0이라 쓰는 것이 편리할 텐데, 앞에 나온 숫자들의 차수를 고려해서 다항식을 표현하면, 0 대신 2x0으로 쓰는 것이 편의적이다.

0의 0제곱은 1이라는 이론은 Xx의 극한에서도 설명이 가능하다. Xx의 극한은 0의 0제곱은 1이라는 주장을 뒷받침하는 근거로 쓰여지기도 한다. 등식으로 표현하기엔 꽤 복잡하므로 생락하겠다.

또다른 이론으로 "거듭제곱은 1에 어떤 수를 곱하는 과정이다. 그런데 지수가 0이면 아무것도 곱하지 않았다는 뜻이므로 그 값은 1이 될 수밖에 없다"고 설명하는 경우도 있다. 하지만 이는 a의 0승을 1이라고 가정한 상태에서 하는 설명이기 때문에 바람직하지 않다.

결과적으로 0의 0제곱을 두줄로 요약하자면

1. 0의 0제곱은 정의하지 않는다.
2. 그렇지만 ‘주의하여 사용한다면’ 편의상 0의 0제곱은 1로 정의할 수 있다.
는 것이 되겠다.

`0의 0제곱`이 네티즌들 사이에서 뜨거운 감자다. 0의 0제곱이 0이라는 입장과 1이라는 의견이 팽팽하게 대립하고 있다.

어떤 수의 0제곱은 항상 1이고 0의 거듭제곱은 언제나 0이다. 하지만 0의 0제곱에선 위의 두 가지 사실이 서로 충돌한다.

컴퓨터 계산기를 이용해 0의 0제곱을 계산하면 1이 출력되지만 엑셀에 0의 0제곱을 입력하면 오류 메시지가 나와 혼란을 가중시킨다.

결과적으로 0의 0제곱은 정의되지 않는다. `1`은 답이라서가 아니라 편의에 의한 나온 것이다.

지수법칙에 따르면 0의 0제곱은 두 가지 경우의 수가 존재한다.

식에서 a는 0이 아니고 m, n이 1이상인 자연수에서 계산하고 있다. 이를 통해 a가 0이 아니라고 하면 a^0=1 이거나 0^a=0이다.(`^`는 제곱을 의미)

또 지수법칙에서 a가 0이 아니라고 했으므로 a가 0이라면 첫번째 식에서 0^0=1 이 되고 두번째 식에서 0^0=0 이 된다.

`0의 0제곱` 논란이 일자 네티즌들은 "0의 0제곱, 그럼 0도 아니고 1도 아니란 얘기네", "0의 0제곱 은 정의할 수 없구나", "0의 0제곱, 역시 수학은 정말 어려워" 등의 반응을 보였다.

[매경닷컴 속보부]
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왜 모든수의 영제곱은 왜 1이 될까요?

작성자별의왕자|작성시간05.03.23|조회수528 목록 댓글 5

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작성자ytrnb 작성시간 05.03.23 밑에 한번 찾아보세요.이미 어떤분이 질문해서 답변해 놨어요.
작성자도령1459MILES 작성시간 05.03.23 그건 수학의 약속(Promise!)라고 하시던데...무조건 믿으라!믿으면 복이 온다! 이것이 믿으라매스(math) 교의 사상입니다.
작성자こ_ごㆀ 작성시간 05.03.24 간단하게 증명하죠. 2²÷2¹ = 2^(2-1) 이 되죠? 마찬가지 입니다. 2³ ÷ 2³ = 2^(3-3) = 2^0 = 1 이 됩니다(8÷8 = 1) 증명 끝!
작성자『뷰티플마인드』 작성시간 05.03.25 쉽게 생각하면 2^2를 생각하면 2를 두번곱한다는 의미이고요. 2^0은 2를 안곱했다는 뜻인데,,.. 그럼곱셈에서 안곱한것은 1을 곱한거랑 같은 것이기때문입니다. 정확한 근거는 아닙니다. 제가 모든수의 0제곱을 재해석한것이기 때문에... 다만 이해하시는데는 도움이 되었으면 합니다.
작성자isnel 작성시간 05.06.12 0의0제곱은 1이 아니잖소

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자 오늘은 2의 0승이 1이 되는 이유를 간단히 보여 드리겠습니다. 우선 아래에서 보는 것과 같이 2의 3승 나누기 2의 2승은 2의 (3-2)승, 즉 2의 1승입니다.

2의 3승 나누기 2의 2승

이번엔 4 나누기 4를 한 번 해보겠습니다. 일단 분모와 분자가 같으니까 답은 1이고 분모와 분자를 위의 식처럼 거듭제곱근을 사용해서 표현하면 2의 2승 나누기 2의 2승, 즉 2의 (2-2)승, 다시 고치면 2의 0승이 됩니다.

2의 2승 나누기 2의 2승

이미 답이 나왔습니다만 위의 식을 다시한번 2의 0승부터 표현해 주면 아래와 같이 2의 0승은 1이라는 답을 얻게 됩니다.

같은 풀이방법이지만 다음과 같이 표현할 수도 있습니다. 마지막 줄에있는 2의 0승은 1이라는 답을 얻기 위해 두번째줄의 왼쪽과 오른쪽을 2의 1승으로 나누어 주었습니다.

위와 같은 방식을 사용하면 왠만한 수의 0승은 1이라는 사실을 알 수가 있습니다. 그렇다면 0의 0승도 1일까요? 여러분들 한 번 생각해 보세요. 참고로 0의 1승, 2승, 3승.. 등을 하면 답은 0입니다. 그치만 이 글에서 알 수 있듯이 0을 제외한 다른 수의 0승은 1입니다.

0의 0승? 1일까요 0일까요, 아니면 다른 답이 존재할까요?