수정 (2018. 07. 02): 설명을 추가하고 오류를 바로잡는 등 내용을 대부분 뜯어고침. 수정(2018. 09. 21): 도입부를 고치고 4. 2절 초반부의 설명을 줄임. dy(c)(dx)와 같은 표기가 부적절하다고 판단하여 없앰. 자세한 경위에 대해서는 나중에 이야기할 기회가 있을 것으로 기대함. 본문과 그림의 기호가 어긋나던 부분을 고침. 정리 4. 3. 7의 증명과 해설을 줄임. 수점(2018. 10. 23): 몇 군데 사소한 수정을 가함. 수정(2018. 11. 09): 음함수의 미분법 및 dv/du의 개념에 대한 설명을 고침. 수점(2019. 04. 09): 정리 4. 3. 3 (도함수 형태)의 증명을 수정함. 4. 3절 후반부의 설명을 고침. 수정(2019. 06. 11): 적분을 다룰 때 지수함수의 미분법을 알아둘 필요가 있어서 관련 문제를 추가함 4 미분과 적분 앞 장에서는 초수 체계를 이용하여 고등수학의 극한과 연속 개념을 다시 살폈습니다. 이 장에서는 다음과 같은 순서로 미분과 적분에 관해 알아보겠습니다. 먼저 무한소 개념이 미적분을 배우는 데에 어떤 도움을 줄 수 있는지 미적분학의 간단한 역사를 바탕으로 따져 볼 것입니다. 그런 다음 4. 1절에서는 미분과 적분의 개념을 수열에 빗대어 살피고, 4. 2절, 4. 3절, 4. 4절에서는 미분에 관하여, 4. 5절, 4. 6절, 4. 7절에서는 적분에 관하여 자세히 탐구할 것입니다. 고등수학에서 미적분을 배울 때 핵심이 되는 개념은 미분계수 혹은 도함수입니다. 이를 기호로는 dy/dx 등으로 표기하는데, 이것이 분수처럼 생겼고 모든 경우에 분수처럼 행동하기는 하지만 평균변화율의 극한일 뿐 실제로는 분수가 아니라는 사실을 이해하는 것이 중요합니다. 이 표현은 x에 대한 미분을 가리키는 기호 d/dx와 y로 분리해서 읽어야지, dy와 dx로 분리해서는 안 됩니다. 마찬가지로 ∫f(x)dx라는 표현에서 dx는 적분을 변수 x에 대하여 수행하라고 일러주는 장치에 지나지 않습니다. 그런데 정작 위와 같은 표기법을 창시한 라이프니츠는 미분계수 dy/dx보다도 미분 df 자체를 중심에 놓고 생각했습니다. 그는 미분 dy를 y의 미세한 차이라고 생각했고, 적분 ∫f(x)dx란 x의 여러 값들에 대해 f(x)dx의 값을 모조리 더한 것이라고 생각했습니다. 그에게 dy/dx란 실제로 두 미분 dy와 dx의 비를 가리키는 표현이었습니다. (라이프니츠의 미적분학을 당대의 관점에서 살핀 훌륭한 작업은 Bos (1974)의 논문입니다. 관심이 있는 사람은 꼭 읽어 보기 바랍니다.) 라이프니츠의 미적분학은 당대에 움트고 있던 무한소 개념을 바탕으로 한 것이었습니다. 이후 바이어슈트라스 등에 의해 무한소라는 개념이 수학에서 쫓겨나면서 오늘과 같은 형태의 미적분학이 자리 잡았습니다. 하지만 라이프니츠처럼 무한소 미분 dy 자체를 적법한 수학적 대상으로 간주하고 이것을 중심으로 미분과 적분을 수행하는 태도는 오늘날에도 사라지지 않고 남아 있습니다. 이를테면 물리학 교과서에서 다음과 같은 풍경을 흔히 찾아볼 수 있습니다. 다음 그림은 Thornton, & Marion (2004, p. 331)의 고전역학 교과서에서 가져온 것으로, 두께가 dy인 얇은(thin) 원판의 질량 dm에 대하여 ydm을 적분하여 반구의 질량중심을 구하는 과정을 보여주고 있습니다. 물리학에서 이러한 방법을 사용하는 일을 정당화하는 통일된 논리는 없습니다. 특별한 설명이 제시되지 않는 경우도 많습니다. dy를 y의 굉장히 작은 변화량 정도로 이해하고, 이를 포함하는 계산은 오차가 굉장히 작은 어림 정도로 간주하는 태도가 일반적인 것 같습니다. Griffith (1999, p. 13)의 전자기학 교과서에서 기초 미적분학을 설명하는 다음 대목을 보십시오. 미분계수 df/dx란 독립변수 x가 조그만(tiny) 양 dx만큼 변할 때 f의 변화량 df가 얼마인지 알려주는 비례계수라고 이야기합니다. '얇은' '조그만' 따위 낱말에서 엿볼 수 있듯이, 물리학에서는 라이프니츠의 표기법을 채택하고 있을 뿐만 아니라 그 바탕이 되는 무한소의 개념까지도 어느 정도 이어받아 사용하고 있습니다. 현대수학에서도 dy/dx가 아니라 dy가 핵심적인 기호로 등장하는 분야들이 있습니다. 미분기하학 등 독립변수가 2개 이상인 함수를 다루는 분야가 그렇습니다. 미분계수를 평균변화율의 극한으로 정의하려고 할 때, 독립변수가 여러 개이면 변화율의 분모를 무엇으로 삼을 것인지 모호해지기 때문입니다. 이를테면 다음 그림은 Spivak (1965, p. 89)의 미적분학 교과서에서 가져온 것입니다. 복잡한 설명은 건너뛰고, 두 번째 수식의 모양새에 집중해 보기 바랍니다.
여러 항의 덧셈이 등장하고 이상한 미분 기호 ∂가 쓰이는 까닭은 독립변수가 여러 개이기 때문입니다. 이것만 빼면 위의 전자기학 교과서에 적힌 수식과 모양새가 똑같습니다. 이곳에서 쓰인 기호 d는 외미분(exterior derivative)이라는 개념을 나타냅니다. (이것이 무엇인지, 어째서 '외(exterior)'라는 접두사가 붙는지 나중에 이야기할 기회가 있었으면 좋겠습니다.) 물론 미분기하학의 경우 무한소 개념을 바탕으로 하고 있지는 않습니다만, 어쨌거나 고등수학에서 dy/dx의 dy를 따로 떼어 생각해서는 안 된다고 누누이 강조하는 것이 수학의 모든 분야에 해당하는 이야기는 아니라는 사실을 알 수 있겠습니다. 이제 여러분은 초수 체계를 이용하여 미분과 적분을 살핌으로써 무엇을 이룰 수 있는지 알았을 것입니다. 초수 체계는 무한소에 관해 엄밀하게 이야기하도록 허락해 줍니다. 비록 19세기에 바이어슈트라스 등에 의해 추방되기는 했지만, 무한소에 대한 직관은 라이프니츠의 시대부터 오랫동안 미적분학의 근간이 되어 왔습니다. 이것을 바탕으로 함수의 미분이 정의되었던 것입니다. 무한소 미분을 미적분학의 핵심 개념으로 인정하는 사고방식은 아직도 물리학 등에서 명맥을 이어 오고 있습니다. 그러므로 초수 체계를 이용함으로써 우리는 라이프니츠를 비롯한 옛 수학자들의 방식, 또 물리학자들의 직관적인 방식과 가까운 방식으로 미분과 적분을 이해할 수 있게 됩니다. 더군다나 이러한 접근 방법은 미분기하학 등에서 독립변수가 여러 개인 함수의 미분을 정의하는 방법하고도 맞닿아 있다는 장점이 있습니다. 4. 1 수열의 계차와 합 라이프니츠의 미적분학은 수열에 관한 생각에서 출발했습니다. 수열과 미적분학 사이에 무슨 관계가 있었을까요? 초창기 미적분학은 기하학과 떼려야 뗄 수 없는 관계였습니다. 복잡한 도형의 접선과 넓이를 분석하는 새로운 방법을 고안하려는 시도에서 탄생한 것이었기 때문입니다. 그런데 복잡한 도형을 살피는 한 가지 유용한 방법은 도형에 내접하거나 외접하는 다각형을 살피는 것이었습니다. 다각형은 삼각형이나 사다리꼴 등으로 쪼갬으로써 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다. 이때 그림 (Bos, 1974, p. 15)에서 볼 수 있듯이, 각 사다리꼴의 밑변, 높이, 넓이 등은 일정한 수열을 형성합니다. 이런 까닭으로, 수열의 계차와 합에 대한 생각이 라이프니츠가 미적분학을 발명하는 데에 통찰을 제공해 주었던 것입니다 (Bos, 1974, pp. 4, 13-14). 그러므로 본격적으로 미적분학을 살피기에 앞서, 우리도 라이프니츠를 따라 수열의 계차와 합에 대해 알아보기로 합시다. 어떤 수열의 이웃한 두 항의 차이를 이 수열의 계차(difference)라고 합니다. 수열 bn의 일반항이 수열 an의 계차로 주어질 때 bn을 an의 계차수열이라고 부르고, 이를 기호로 bn＝Δan으로 나타내기로 하겠습니다. 다시 말해, 수열 an의 계차수열이란 일반항이 으로 주어지는 새로운 수열 Δan을 뜻합니다. 계차수열이라는 이름과 그 개념은 엄밀하게는 고등학교 수학 교육과정을 벗어나는 내용이지만, 복잡한 수열을 파악하는 데에 유용하게 쓸 수 있기 때문에 아마 여러분도 어디선가 한 번쯤 들어 보았을 것입니다. 한편 어떤 수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합을 기호로 다음과 같이 나타냅니다. 위 식의 값은 n에 따라 달라집니다 (n＝1, 2, 3, ···). 그러므로 위 식을 어떤 새로운 수열의 일반항에 대한 정의로 알아들을 수 있겠습니다. 이 수열을 일컫는 합의된 명칭은 없습니다. 이 글에서는 내 마음대로 이 수열을 an의 합수열이라고 부르기로 하겠습니다. 수열의 합과 계차 사이에는 일정한 관계가 성립합니다. 먼저 합수열의 계차수열은 원래 수열의 제 2항부터 이어지는 수열과 같습니다. 계차와 합의 정의를 생각할 때 이는 당연한 이야기입니다. 여러분은 아마도 고등학교 「수학 Ⅱ」에서 이 관계식을 수열의 합과 일반항 사이 관계라는 이름으로 다음과 같은 꼴로 배웠을 것입니다. (단, Sn은 an의 합수열) 그리고 주로 이 관계의 a1＝S1 조건이 여러분을 괴롭히는 “낚시 문제”의 단골 소재로 등장하곤 했을 것입니다. 이보다 더 중요하고 문제에도 더 자주 이용되는 관계는 바로 계차수열의 합수열이 원래 수열의 일반항과 초항의 차이에 해당하는 수열과 같다는 것입니다. 이 관계식은 뺀 것을 다시 더하면 처음과 같아진다는 당연한 사실을 나타내고 있습니다. 교과서에서 이름도 붙여 주지 않은 이 간단한 사실이 우리에게 여러 가지 통찰을 제공해 줍니다. 어떤 수열이 다소 복잡해서 곧바로 파악하기 어렵다고 해 봅시다. 만일 이 수열의 계차수열이 제법 간단한 형태로 주어진다면, 우리는 계차를 합함으로써 원래 수열을 파악하려고 시도해 볼 수 있습니다. 문제를 통해 알아봅시다. 문제 4. 1. 1. 2013학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 나형 14번. 풀이. <그림 n>에 적혀 있는 모든 수의 합을 an이라고 하고, 계차수열 Δan을 관찰하자. <그림 n>에 비해 <그림 n＋1>에는 육각형이 n＋1개 많다. 그러므로 추가되는 꼭짓점의 개수는 6(n＋1)개이어야 하지만, 추가되는 육각형끼리 겹치는 꼭짓점이 2n개이고, 또 이미 존재하는 육각형과 겹치는 꼭짓점이 2n＋1개이므로, 결과적으로 추가되는 꼭짓점의 개수는 2n＋5개이다. 1부터 2n＋5 사이의 자연수의 합을 등차수열의 합 공식을 이용하여 셈하면 이다. 위에서 찾은 관계식에 따르면, 구하는 값은 과 같다. 답 371. ④ 이처럼 계차수열을 관찰하면 복잡한 수열을 이해하는 데에 도움을 받을 수 있는 경우가 있습니다. 초항에 계차를 더함으로써 원래 수열의 일반항을 이끌어낼 수 있기 때문입니다. 반대로, 복잡한 수열의 합을 구하는 문제가 주어졌다고 합시다. 만일 이 수열이 어떤 다른 수열의 계차수열이라는 사실이 밝혀진다면, 합을 구하는 일이 매우 쉬워집니다. 여러분은 아마도 고등학교 「수학 Ⅱ」 시간에 여러 가지 수열의 합을 구하는 단원에서 이러한 문제를 마주한 적이 있을 것입니다. 문제 4. 1. 2. 다음 합을 계산하시오. 풀이. (1) 흔히 '부분분수'로 알려진 꼴의 합이다. 더해지는 각 항을 두 분수의 차로 분해할 수 있으므로, 주어진 관계를 이용하면 다음과 같이 처음과 마지막의 분수만 남는다. 답 1－1/100. (2) (1)보다 조금 더 꼴이 복잡하지만, 역시 널리 알려진 문제다. 더해지는 각 항을 두 분수의 차로 분해하는 것이 관건이다. 답 ½(½－1/10100). (3) 더해지는 항을 두 분수의 차로 분해하려고 시도하다 보면 다음과 같이 계산할 수 있음을 알게 된다. 답 1－1/100!. 이처럼 어떤 수열이 다른 수열의 계차수열이 아닌지 관찰하면 어려운 합을 구하는 데에 도움을 받을 수 있는 경우가 있습니다. 계차를 일일이 합하는 대신 원래 수열의 일반항과 초항을 구하여 서로 빼기만 하면 되기 때문입니다. 이런 방법을 이용하여 그 값을 구할 수 있는 합을 망원급수(telescoping series)라고 부릅니다. 망원급수의 경우에 합을 구하는 문제는 결국 주어진 수열을 계차수열로 하는 원래 수열을 찾는 문제로 귀결됩니다. 사실 뺄셈을 거꾸로 하면 덧셈이 된다는 점을 생각하면 이는 당연한 일입니다. 자연에서 혹은 일상에서, 수열과 같이 이산적으로 주어지는 변수를 쉽게 찾아볼 수 있습니다. 이를테면 날마다 달라지는 일몰시각이나 다달이 지급되는 이자의 액수와 같은 변수들이 그렇습니다. 반면에 시시각각 달라지는 자동차의 속력이나 고도에 따라 달라지는 평균 기온과 같은 변수들은 연속적으로 변합니다. 이산적으로 주어지는 변수를 파악할 때 수열의 계차와 합이라는 개념을 사용하면 도움을 얻을 수 있습니다. 연속적으로 주어지는 변수에 대해서도 이에 해당하는 개념을 고안할 수 있을까요? 이 물음에 답하는 과정에서 '계차'와 '합'은 각각 '미분'과 '적분'이 됩니다. 계차, 합, 미분, 적분에 해당하는 기호들이 변화한 역사적 과정을 통해 위와 같은 관계를 엿볼 수 있습니다. 라이프니츠는 차이를 뜻하는 라틴어 differentia와 합을 뜻하는 라틴어 summa의 머릿글자를 따서 d와 ∫라는 기호를 고안했습니다 (Bos, 1974, p. 17). 이때 ∫는 s를 길게 늘려서 쓴 것입니다. 그는 계차와 미분 모두 d를 이용하여 표기했고, 합과 적분 모두 ∫를 이용하여 표기했습니다. 그에게 계차와 미분, 합과 적분은 사실상 서로 같은 것이었습니다. 오일러가 비로소 d와 s에 해당하는 그리스 문자 Δ와 Σ를 사용하여 계차와 합을 표기하기 시작했지만, 이것이 받아들여지기까지는 시간이 걸렸습니다. 오일러 이후로도 여러 수학자가 계차와 합을 나타내는 데에 D와 S를 사용했던 것입니다 (Cajori, 1993, pp. 61, 209, 264-266). 유키 히로시는 그의 책 『수학 걸』에서 다음처럼 낭만적으로 이야기하기도 했습니다. ∫은 로마 문자의 S이고, Σ는 그리스 문자의 S라고 생각하면 대비가 한층 더 재미있을 거야. 연속적인 세계는 로마에, 이산적인 세계는 그리스에 있었던 걸까? (結城浩, 2008, p. 149) 이제부터 무한소 개념의 도움을 받아 '이산적인 세계'에서 '연속적인 세계'로 넘어가 보려고 합니다. (다만 이 글에서 말하는 '이산적으로 주어지는 변수' 및 '연속적으로 주어지는 변수'가 「확률과 통계」 에서 배우는 '이산변수' 및 '연속변수'하고는 다른 개념이라는 사실을 유념하기 바랍니다. 이 글에서는 정의역의 값들이 분포하는 모습을 기준으로 이산과 연속을 따지는 반면, '이산변수'와 '연속변수'를 구분할 때는 공역의 값들이 분포하는 모습을 기준으로 이산과 연속을 따집니다. 이를테면 날마다 달라지는 일몰시각을 생각해 봅시다. 어제의 일몰시각, 오늘의 일몰시각······. 이처럼 정의역의 값들이 이산적으로 분포하므로, 이 글의 분류 기준에 따르면 일몰시각은 '이산적으로 주어지는 변수'에 해당합니다. 하지만 공역의 값들은 6시, 6시 1초, 6시 0.5초······. 이와 같이 연속적으로 분포하므로 일몰시각은 '연속변수'에 해당합니다.) 4. 2 증분과 미분 연속적으로 주어지는 변수에서도 계차에 해당하는 값을 얼마든지 계산할 수 있습니다. 독립변수 x와 종속변수 y 사이에 y＝f(x)와 같은 관계가 성립한다고 합시다. 만일 x의 값이 Δx만큼 변해서 x＋Δx로 된다면, y의 값은 당연히
만큼 변할 것입니다. 이렇게 계산한 값을 y의 증분(increment)이라고 부릅니다. 증분이란 변화량이라는 뜻입니다. 물론 '이산적인 세계'와는 달리 '연속적인 세계'에는 독립변수 x의 값이 가질 수 있는 최소의 간격이 없습니다. 독립변수의 증분 Δx의 값이 달라지면 Δy의 값도 얼마든지 변할 수 있습니다. 계차와는 달리 증분 Δy의 값은 위치 x뿐만 아니라 간격 Δx에도 의존하는 것입니다. 예시를 통해 증분을 계산하는 연습을 해 보겠습니다. 정의에 따라 y＝x²의 증분을 구해 보면 다음과 같습니다. 몇 가지 수치를 대입하여 관찰해 봅시다. 증분을 계산하는 위치를 x＝2로 고정하고, Δx의 값이 0, ±0.01, ±0.02, ±0.03인 각각의 경우에 대해 Δ(x²)의 값을 계산해 보면 다음과 같습니다. 그런데 위 표를 가만히 들여다보고 있으니 한 가지 규칙이 분명하게 드러납니다. 바로 Δ(x²)의 값이 Δx에 거의 정비례한다는 것입니다. 어째서 이런 경향이 나타나는지 어렵지 않게 짐작할 수 있습니다. 지금 x＝2에서 증분을 계산하고 있으므로, 위에서 구한 증분 공식에 따르면
인데, Δx가 0.01 정도로 작은 값을 갖기 때문에 (Δx)²의 값은 0.0001 정도로 훨씬 작게 됩니다. 따라서 전체 값은 4Δx와 비슷해지는 것입니다. 이와 같은 일이 다른 변수에 대해서도 똑같이 일어난다면 좋겠습니다. 종속변수의 변화를 추적할 때 2xΔx＋(Δx)²처럼 복잡하게 생긴 증분 대신 2xΔx처럼 간단한 일차함수를 사용할 수 있다면 편리할 것이기 때문입니다. 하지만 y＝x²보다 더 복잡한 꼴로 주어지는 다른 변수에 대해서도 같은 일이 벌어지리라고 기대해도 좋은 것일까요? 이를테면 삼각함수나 지수함수 꼴의 변수, 또 이들의 합성함수로 주어지는 복잡한 변수는 어떨까요? 위에서 계산한 표를 그래프로 옮겨 보면 이러한 물음에 대한 답을 찾는 데에 도움을 받을 수 있습니다. 그래프의 가로축은 독립변수의 증분 Δx의 값을, 세로축은 거기에 대응하는 종속변수의 증분 Δ(x²)의 값을 나타냅니다. 그래프가 거의 직선에 가깝게 나타남을 확인할 수 있습니다. x＝2에서 계산한 Δ(x²)의 값이 Δx에 거의 정비례한다는 말은, y＝x²의 그래프가 x＝2 부근에서 거의 직선에 가깝다는 말하고 같은 뜻이었던 것입니다. 이는 곧 함수의 그래프가 뾰족하게 꺾이는 부분 없이 매끄럽게 이어진다는 뜻이기도 합니다. 삼각함수와 지수함수를 비롯하여 우리가 이제까지 배운 많은 함수의 그래프가 이처럼 매끈하게 생겼다는 사실을 우리는 잘 알고 있습니다. 따라서 그와 같은 많은 함수에 대해서, 독립변수의 증분 Δx가 작을 때 종속변수의 증분은 Δx에 거의 정비례하리라고 추측할 수 있겠습니다. 무한소의 수학은 지금까지 이야기한 것과 같은 상식적인 논의를 엄밀하게 표현할 수단을 제공해 줍니다. 독립변수의 증분 Δx가 0이 아닌 무한소라고 합시다. 만일 종속변수의 증분 Δy가 Δx에 정비례하는 항 kΔx와 다른 항들의 합으로 주어지는데, 그 나머지 항 Δy－kΔx가 Δx에 비해 한없이 작아서 무시할 수 있다면, kΔx는 Δy에 대한 훌륭한 일차근사 또는 선형근사(linear approximation)가 되는 셈입니다. 이런 경우에 우리는 복잡하게 생긴 Δy 대신 간단한 일차항 kΔx를 관찰해도 좋습니다. 미분(differential)이란 이처럼 변수의 증분을 일차식으로 어림한 것입니다. 정의 4. 2. 1. 미분. 독립변수 x의 0이 아닌 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여 거기에 대응하는 종속변수 y의 증분 Δy가
을 만족시키도록 하는 실수 k가 존재한다면, 변수 y가 그 점에서 미분가능하다고 말한다. 이때 kΔx를 그 점에서 y의 미분(differential)이라고 부르며, 이를 기호로는 dy로 표기한다. 증분 Δy와 마찬가지로 미분 dy는 위치 x와 간격 Δx에 모두 의존합니다. 하지만 증분과 달리 미분은 간격에 반드시 정비례합니다. 이처럼 위치와 간격에 모두 의존하며 특히 간격에 정비례하는 함수를 미분기하학자들은 미분형식(differential form)혹은 1-형식(1-form)이라고 부릅니다만, 우리는 이런 위협적인 이름은 쓰지 않는 것으로 합시다. 미분이 독립변수의 증분에 정비례한다는 사실을 기하학적으로 나타내면 다음 그림 (Keisler, 2012, p. 56)과 같습니다. 곡선 y＝f(x) 위의 한 지점을 한없이 확대하면 어떤 직선에 한없이 가까워진다고 할 때, 미분 dy는 그 직선을 따른 변화량이고 증분 Δy는 원래 곡선을 따른 변화량이라고 이해할 수 있습니다. 물론 위 그림은 약간 잘못되었습니다. 앞에서 미분은 증분에 대한 훌륭한 선형근사라고 했습니다. 이것이 사실이라면 Δx와 Δy를 분간할 수 있을 정도로 배율이 좋은 '현미경'을 통해 관찰하더라도 dy와 Δy를 구분할 수 없어야 합니다. 이와 같은 내용이 다음 정리에 포함되어 있습니다. 정리 4. 2. 2. 증분정리. 미분가능한 변수 y와 0이 아닌 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여, 미분 dy와 증분 Δy는 Δx를 기준으로 엇비슷하다.
이를 다음과 같이 표현할 수도 있다. 미분가능한 변수 y와 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여  가 성립하도록 하는 무한소 ε이 존재한다. 증명. 첫 번째 식은 미분의 정의 4. 2. 1에 따르면 당연하다. 한편 두 번째 식에서 Δx＝0이면, Δy＝0이고 또한 dy＝0이므로, ε의 값과 관계없이 주어진 식은 반드시 성립한다. 한편 Δx가 0이 아닌 경우 Δy≡dy (mod Δx)인데, 이는 곧
이라는 뜻이다. 좌변의 값을 ε이라 하면 ε은 무한소이므로, 결국 주어진 식을 성립하게 만드는 무한소 ε이 존재하는 셈이다. 이러한 내용을 반영하여 위의 그림을 고쳐 그리면 다음 (Keisler, 2012, p. 57)과 같습니다. Δx와 Δy를 분간할 수 있을 정도로 배율이 좋은 '현미경'을 이용해서 그래프를 한없이 확대하더라도 곡선과 직선을 구분할 수 없습니다. 다시 한 번 한없이 확대해야만 dy와 Δy의 차이 εΔx를 분간할 수 있는 것입니다. 이처럼 미분은 증분과 매우 비슷합니다. 특히 종속변수가 독립변수와 같은 경우, 즉 y＝x인 경우에는 증분이 곧 미분과 같습니다. Δy＝Δx이므로 dy 즉 dx＝Δx일 것이기 때문입니다. 따라서 앞으로 독립변수의 증분을 자유롭게 Δx 혹은 dx로 번갈아 나타내도록 하겠습니다. 정리 4. 2. 2의 두 가지 수식은 같은 내용을 다른 방식으로 표현하고 있습니다. 첫 번째 수식은 무한소 ε과 같은 다른 미지의 상수를 포함하지 않으므로 간결한 반면, 두 번째 수식은 Δx가 0인 경우에도 적용할 수 있다는 점에서 편리합니다. 이를테면, 정리 4. 2. 2의 두 번째 수식을 이용하여 다음 정리를 쉽게 증명할 수 있습니다. 정리 4. 2. 3. 미분가능한 변수는 연속이다. 증명. 증분정리에 따르면, 미분가능한 변수 y와 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여 이다. 이때 dy는 무한소 Δx와 실수의 곱이므로 무한소이고, εΔx도 무한소와 무한소의 곱이므로 무한소이다. 따라서 둘의 합인 Δy도 무한소이다. Δx가 무한소일 때 Δy도 반드시 무한소이므로, 주어진 변수는 연속이다. (여기서 변수 y가 연속이라는 말은 독립변수 x에 대하여 y＝f(x)와 같은 관계가 성립할 때 함수 f가 연속이라는 말로 알아듣기 바랍니다.) 그러면 시험 삼아 몇 가지 미분을 직접 계산해 봅시다. 미분을 계산하려면 먼저 독립변수의 0이 아닌 무한소 증분 dx에 대한 종속변수의 증분을 구해야 합니다. 그런 다음 dx에 비해 한없이 작은 항들을 버리고 dx에 정비례하는 항만을 남겨서, dx를 기준으로 원래 증분과 엇비슷한 실수 계수 일차함수를 만들어냅니다. 이것이 바로 구하는 미분입니다. 이어지는 글에서 기호 ≡를 포함하는 모든 관계식은 주어진 무한소 증분 dx를 기준으로 삼을 것이기 때문에 (mod dx)를 생략하겠습니다. 문제 4. 2. 4. 독립변수 x와 종속변수 y 사이에 각각 다음과 같은 관계가 성립한다고 할 때, 종속변수 y의 미분을 구하시오. 풀이. (1) 0이 아닌 임의의 무한소 증분 dx에 대해 y＝2의 증분은 0이다. 이는 0·dx와 같으므로 dx에 대한 실수 계수 일차함수라고 볼 수 있다. 따라서 구하는 미분은 이다. 답 0. (2) 0이 아닌 임의의 무한소 증분 dx에 대하여 (dx)²은 dx에 비해 한없이 작으므로, 이다. 따라서 구하는 미분은 이다. 답 2xdx. (3) 0이 아닌 임의의 무한소 증분 dx에 대하여 sinx의 증분은 삼각함수의 덧셈 공식에 따르면
이다. 이때 sindx ≡ dx이고 cosdx ≡ 1이므로 결국
이다. 따라서 구하는 미분은 이다. 답 cosxdx. (4) 0이 아닌 임의의 무한소 증분 dx에 대하여, 무리수 e의 정의를 활용하기 위해 lnx의 증분을 다음과 같이 변형하자. 이때 dx/x는 무한소이므로, 문제 3. 2. 8과 거기에 이어지는 설명에서 증명했던 내용에 따르면
이다. 문제 3. 3. 2의 (3)에서 증명한 바에 따르면 lnx는 구간 (0, ∞)에서 연속이므로 이다. 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다. 따라서 구하는 미분은 이다. 답 (1/x)dx. 더 복잡한 변수의 미분을 계산하러 나아가기에 앞서 고등수학에서 중요한 개념으로 등장하는 미분계수와 도함수에 대해 알아보기로 하겠습니다. 주어진 위치에서 계산한 미분은 독립변수의 증분에 대한 일차함수입니다. 그 위치에서의 미분계수란 말 그대로 그 일차함수의 계수를 뜻합니다. 미분계수의 값은 계산하는 위치에 따라 달라질 터입니다. 따라서 위치마다 그곳에서 계산한 미분계수의 값을 대응하는 함수를 생각할 수 있는데, 이것이 바로 도함수입니다. 이런 내용을 한결 엄밀하게 적으면 다음과 같습니다. 정의 4. 2. 5. 미분계수와 도함수. 독립변수 x와 종속변수 y 사이에 y＝f(x)와 같은 관계가 성립한다고 하자. 변수 y가 x＝a에서 미분가능하면 함수 f가 a에서 미분가능하다고 말한다. 이때 x＝a에서 실수 k에 대하여 dy＝kdx가 성립한다면, k를 a에서 변수 y 또는 함수 f의 미분계수(differential coefficient)라고 하며, 이를 기호로는 f'(a)로 표기한다. 함수 f가 정의역의 모든 값에서 미분가능할 때, 정의역의 임의의 x에 미분계수 f'(x)를 대응하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이를 f의 도함수(derivative)라고 하며, 기호로는 y'＝f'(x)로 표기한다. 미분계수의 의미를 다음과 같이 기하학적으로 생각해 볼 수 있습니다. x＝a에서 미분가능한 함수 y＝f(x)와 0이 아닌 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여, 증분정리에 따르면 다음이 성립합니다.
이는 곧
이라는 뜻입니다. 이때 좌변의 값은 아래 그림 (Keisler, 2012, p. 44)과 같은 방법으로 그린 직선의 기울기에 해당합니다. 그런데 이것은 바로 x의 값이 a에서 a＋Δx까지 변할 때 f(x)의 평균변화율에 해당합니다. Δx가 0이 아니면서 0에 한없이 가까우면 이 값이 반드시 우변의 실수 f'(a)에 한없이 가까우므로, 결국 미분계수 f'(a)는 x＝a에서 f(x)의 평균변화율의 극한에 해당한다고 말할 수 있겠습니다. 또는 이렇게도 생각할 수 있습니다. x＝a에서 미분가능한 함수 y＝f(x)와 0이 아닌 임의의 무한소 증분 dx에 대하여, 미분의 정의에 따르면
입니다. 우리는 앞에서 dy와 dx의 기하학적 의미를 살펴본 바 있습니다. 미분가능한 함수 y＝f(x)의 그래프를 한없이 확대하면 어떤 직선에 한없이 가까워지는데, 이 직선을 따른 x와 y의 변화량이 바로 dx와 dy라고 했습니다. 위 식에 따르면, f'(a)가 바로 이 직선의 기울기일 수밖에 없고,
이것이 바로 그 직선의 방정식일 수밖에 없습니다. 이러한 방정식에 의해 주어지는 직선을 접선이라고 부릅니다. 정의 4. 2. 6. 함수 f가 a에서 미분가능할 때, 곡선 y＝f(x) 위의 점 (a, f(a))에서 그은 접선이란 이와 같은 방정식에 의해 주어지는 직선을 뜻한다. 그러므로 기하학적으로 생각할 때, 미분계수 f'(a)는 x＝a에서의 f(x)의 순간변화율 혹은 (a, f(a))에서 그은 곡선 y＝f(x)의 접선의 기울기에 해당한다고도 말할 수 있겠습니다. 김창동 외 (2015, p. 95)의 고등학교 「미적분 Ⅰ」 교과서에서 가져온 다음 그림은 미분계수에 대한 위의 다양한 기하학적 해석들 사이에 어떤 관계가 있는지 보여주고 있습니다. 그림에서 직선 PQ의 기울기는 x가 a에서 a＋Δx까지 변할 때의 평균변화율에 해당합니다. 이때 독립변수의 증분 Δx가 0에 한없이 가까워지면 직선 PQ도 직선 PT에 한없이 가까워집니다. 따라서 직선 PQ의 기울기도 직선 PT의 기울기에 한없이 가까워질 것입니다. 그런데 직선 PT는 바로 점 P에서 곡선 y＝f(x)에 그은 접선입니다. 그러므로 미분계수 f'(a)는 평균변화율의 극한이면서 동시에 순간변화율 곧 접선의 기울기에 해당하는 것입니다. 4. 3 미분법 복잡한 변수의 미분을 구하기 위해 다음과 같은 사실을 고려해 봅시다. 임의의 실수 a, b와 미분 du, dv에 대하여, du와 dv는 모두 주어진 간격에 정비례하는 실수 계수 일차함수이므로, adu＋bdv 역시 주어진 간격에 정비례하는 실수 계수 일차함수일 것임이 틀림없습니다. 그러므로 복잡한 미분을 구하기 위해 증분을 계산한 값이 독립변수의 0이 아닌 무한소 증분 dx를 기준으로 adu＋bdv와 엇비슷하다면, 이것이 바로 구하는 미분이라고 할 수 있겠습니다. 이를 바탕으로 다음 미분 규칙들을 증명할 수 있습니다. 정리 4. 3. 1. 상수배·합·곱의 미분법. 미분가능한 변수 u와 v에 대하여 다음이 성립한다. (단, c는 임의의 상수이다.) 증명. (1) 0이 아닌 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여 증분 Δ(cu)를 계산하면
이다. 이때 Δu≡du이므로, 구하는 미분 d(cu)는 cdu와 같다. (2) 0이 아닌 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여 증분 Δ(u＋v)를 계산하면
이다. 이때 Δu≡du, Δv≡dv이므로
이다. 그러므로 구하는 미분 d(u+v)는 du＋dv와 같다. (3) 0이 아닌 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여 증분 Δ(u·v)를 계산하면
이다. 이때 Δu≡du, Δv≡dv이며, 따라서 Δu·Δv는 Δx에 비해 한없이 작으므로,
이다. 그러므로 구하는 미분 d(u·v)는 du·v＋u·dv와 같다. 여기서 증명한 미분 규칙을 적용하는 연습을 해 보기 위해, 다항함수의 미분법에 관한 다음 정리를 증명해 보기로 합시다. 정리 4. 3. 2. 다항함수의 미분법. 독립변수 x와 임의의 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다. 증명. 수학적 귀납법을 이용하자. 우선 n＝1일 때 이므로 주어진 식이 성립한다. 한편 n＝k일 때 주어진 식이 성립한다면, 곱의 미분법을 이용하여 이와 같이 계산할 수 있다. 즉 주어진 식이 n＝k일 때 성립한다면, n＝k＋1일 때에도 반드시 성립하는 것이다. 수학적 귀납법에 따라, 주어진 식은 임의의 자연수 n에 대하여 성립한다. 상수배·합·곱만 가지고 나타내기 어려울 정도로 복잡하게 정의된 변수를 미분하려면 위 규칙들만 가지고는 모자랍니다. 다음 규칙은 여러 함수가 합성된 꼴로 주어진 변수를 미분하려고 할 때 큰 도움이 됩니다. 정리 4. 3. 3. 합성함수의 미분법. 미분가능한 변수 u와 미분가능한 함수 f에 대하여 다음이 성립한다. 증명. 0이 아닌 임의의 무한소 증분 Δx에 대하여 증분 Δ(f(u))를 계산하면
이다. 이때 u가 미분가능하므로 Δu는 무한소이고, 따라서 증분정리에 따라
이 성립하도록 하는 무한소 ε이 존재한다. Δu≡du이고 εΔu는 Δx에 비해 한없이 작으므로
이다. 그러므로 구하는 미분 d(f(u))는 f'(u)du와 같다. 두 변수 x, y 사이에 y＝f(x)와 같은 관계가 성립한다고 합시다. x가 독립변수라면 미분의 정의에 따라 dy＝f'(x)dx와 같이 계산할 수 있습니다. 위 규칙은 x가 독립변수가 아니어도 미분가능한 변수이기만 하면 이와 같이 계산할 수 있다고 알려줍니다. 이 사실이 문제를 해결하는 데에 어떻게 도움이 되는지 예시를 통해 알아봅시다. 문제 4. 3. 4. 독립변수 x에 대하여 ln(sinx+2)의 미분을 구하시오. 풀이. sinx＋2를 하나의 변수로 간주하면, 함수 y＝lnx가 모든 양수에서 미분가능하므로
이다. 변수의 합에 대한 미분 규칙을 적용하면
이고, d(sinx)＝cosxdx, d(2)＝0이므로 결국
이다. 답 {cosx/(sinx＋2)}dx. 이처럼 종속변수가 독립변수에 대한 복잡한 함수로 주어지는 경우, 익숙한 미분 규칙을 적용할 수 있도록 새로운 변수를 설정하고, 이 변수를 다시 미분하는 과정을 되풀이함으로써 미분을 구할 수 있는 것입니다. 미분이 꼬리에 꼬리를 물고 이어지므로, 정리 4. 3. 3에서 증명한 미분 규칙을 연쇄규칙(chain rule)이라고 부르기도 합니다. 이 규칙은 반대로 독립변수와 종속변수 사이 관계를 한눈에 알아보기 어려운 경우에도 이용할 수 있습니다. 이를테면 독립변수 x와 미분가능한 종속변수 y 사이에
이런 관계가 성립한다고 해 봅시다. 그래프를 그려 보면 y가 x에 대한 함수로 주어지리라는 사실을 짐작할 수 있습니다. 그렇다면 예컨대 곡선 위의 점 (－2, 0)에서 이 곡선에 그은 접선의 기울기를 구하라는 문제가 주어졌다고 할 때, 이를 해결할 수 있을까요? 사실 삼차방정식의 풀이법을 이용하면 다음처럼 정확한 수식을 얻어내는 일이 불가능한 것은 아닙니다. 이제 이 식을 미분해서 dy와 dx의 관계식을 구한 다음, x＝－1을 대입해서 그곳에서 미분계수의 값을 계산하면 됩니다. 이처럼 독립변수 x와 종속변수 y 사이 관계가 f(x, y)＝0 꼴의 식을 통해 정의되는 경우에 y를 x에 대한 음함수(implicit function) 꼴로 나타내었다고 말합니다. 보다시피 음함수를 정의하는 관계식이 조금만 복잡해져도 이를 풀어서 y를 x에 대한 함수로 나타내기가 몹시 까다로워집니다. 요행히 식을 변형하는 데에 성공했다고 하더라도, 그 결과로 얻은 함수를 미분하기 쉬우리라는 보장이 없습니다. 그런데 여기서 dy와 dx 사이 관계를 밝히는 훨씬 간단한 방법이 있습니다. x의 값이 정해지면 y의 값이 정해지고 따라서 x²＋(3y＋2)x－y³의 값도 정해지므로, 이것을 통째로 하나의 종속변수로 간주할 수 있는 것입니다. 그러므로 양변을 미분해서 이라고 말할 수 있고, 앞에서 배운 미분 규칙을 적용하여 이렇게 계산할 수 있습니다. 식을 정리하면 다음과 같이 dy와 dx의 관계식을 얻게 됩니다. 여기에 x＝－2, y＝0을 대입하면 6dy＝－2dx입니다. 이로써 점 (－2, 0)에서 주어진 곡선에 그은 접선의 기울기가 －1/3이라는 사실을 간단히 밝혀낼 수 있습니다. 음함수의 미분법을 적용하는 연습을 하기 위해 몇 가지 문제를 풀어 보겠습니다. 먼저 정리 4. 3. 3을 유리수 지수로 확장해 보도록 합시다. 유리수 지수는 밑이 양수일 때만 정의된다는 사실에 주의하기 바랍니다. 정리 4. 3. 5.
유리수 지수 함수의 미분법. 양수인 독립변수 x와 임의의 유리수 r에 대하여 다음이 성립한다.
증명. r은 유리수이므로, r＝0이거나, 아니면 어떤 자연수 m, n에 대해 r＝m/n 또는 r＝－m/n으로 나타낼 수 있다. (1) r＝0인 경우 d(1)＝0이므로, 주어진 식이 성립한다. (2) r＝m/n인 경우, 종속변수 y를 이렇게 정의하면 x와 y 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. 다항함수의 미분법을 이용하여 양변을 미분하면 이고, 이항하여 계산하면 이다. 따라서 주어진 식이 성립한다. (3) r＝－m/n인 경우, 종속변수 y를 이렇게 정의하면 x와 y 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. 다항함수의 미분법을 이용하여 양변을 미분하면 이고, 이항하여 계산하면 이다. 따라서 주어진 식이 성립한다. 지금까지 살핀 내용을 미분계수와 도함수의 관점에서 다시 한 번 생각해 보도록 하겠습니다. 우리는 독립변수 x와 종속변수 y의 관계가 갖가지 방식으로 주어질 때, 어떻게 하면 이것으로부터
위와 같은 관계식을 이끌어낼 수 있는지 탐구했습니다. 그런데 미분계수의 관점에서 볼 때 중요한 것은 결국 실수 k의 값을 구하는 것입니다. 따라서 다음과 같은 표기법을 도입하는 것이 자연스럽습니다. 정의 4. 3. 6. 두 변수 u, v가 어떤 점에서 미분가능하다고 하자. 만일 그 점에서 계산한 u의 미분계수가 0이 아니고, 그 점에서 계산한 두 미분 du, dv 사이에 반드시
이라는 관계가 성립하도록 만드는 실수 k가 존재하면, k를
이렇게 표기한다. 두 미분 du와 dv는 모두 독립변수의 증분 dx에 대한 일차함수이므로, du≠0이면 반드시 dv＝kdu 꼴로 나타낼 수 있습니다. 이때 정의 4. 3. 6에 따르면 dv/du＝k입니다. 마치 양변을 du로 '나눈' 듯한 꼴입니다. 즉 다른 수나 함수 따위와 마찬가지로 미분도 du≠0이면 양변을 du로 나눌 수 있는 것입니다. 이 밖에도 미분끼리의 곱셈과 나눗셈을 일반적인 곱셈과 나눗셈처럼 수행할 수 있다는 점이 분명합니다. 특히 미분계수의 정의를 생각해 보면, 나누는 변수 x가 독립변수인 경우 dy와 dx의 관계식 양변을 dx로 '나눈' 몫 dy/dx의 값이 바로 그 점에서 y의 미분계수에 해당한다는 사실을 금세 깨달을 수 있습니다. 정의 4. 3. 6. 따름정리. 독립변수 x와 종속변수 y 사이에 y＝f(x)와 같은 관계가 성립한다고 하자. y가 x＝a에서 미분가능하다면, 그 점에서의 미분계수는
으로 주어진다. 이것을 응용해서 앞에 나온 미분법을 도함수 형태로 다시 적어 보도록 하겠습니다. 정리 4. 3. 1. 상수배·합·곱의 미분법 (도함수 형태). 미분가능한 함수 f, g에 대하여 다음이 성립한다. (단, c는 임의의 상수이다.) 증명. 독립변수를 x라 하고 u＝f(x), v＝g(x)라 하면 이다. x가 독립변수이어서 dx≠0이므로, 양변을 dx로 나누어 이와 같이 쓸 수 있다. 정의 4. 3. 6의 따름정리를 이용하면 주어진 수식이 증명된다. 정리 4. 3. 3. 합성함수의 미분법 (도함수 형태). 미분가능한 함수 f, g에 대하여 다음이 성립한다. 증명. 독립변수를 x라 하고 u＝g(x), y＝f(u)라 하면
이다. x가 독립변수이어서 dx≠0이므로, 양변을 dx로 나누어
이와 같이 쓸 수 있다. 그런데 u＝g(x)이므로 f'(u)＝f'(g(x))이다. 이제 정의 4. 3. 6의 따름정리를 이용하면 주어진 수식이 증명된다. 이처럼 미분은 연속적으로 주어지는 변수의 변화를 파악하는 방법을 제공해 줍니다. 독립변수 x와 종속변수 y에 대하여, 미분을 통해 dy와 dx의 관계식을 이끌어내면 한없이 작은 영역에서 y를 x의 일차함수로 어림할 수 있습니다. 기하학적인 관점에서 이는 함수 y＝f(x)의 그래프 위의 한 점에서 그린 접선의 기울기를 구하는 과정에 해당합니다. 미분계수와 도함수의 관점에서 이는 몫 dy/dx를 계산함으로써 도함수 f'을 구하는 과정에 해당합니다. 그런데 x가 독립변수가 아닐 때에도 위와 같이 할 수 있을까요? 결론부터 말하자면, 그렇습니다. 이를테면 이런 관계식에 의해 주어지는 원을 생각해 봅시다. 여기서 x를 독립변수로 보기도 어렵고, y를 독립변수로 보기도 어렵습니다. 한 가지 x 값에 대해 y의 값이 두 가지로 정해질 수 있고, 거꾸로도 마찬가지이기 때문입니다. 이 경우에는 오히려 x, y 둘 다 종속변수라고 생각하는 편이 타당합니다. 두 변수는 독립변수 θ에 대해
이와 같은 함수로 주어지는 종속변수인 것입니다. 이때 지금까지 연구한 방법대로 해서 이를테면 원 위의 한 점 (1/2, √3/2)에서 원에 그린 접선의 기울기를 구할 수 있을까요? 일단 음함수의 미분법을 무작정 적용해 봅시다. x와 y가 종속변수이므로 x²＋y² 역시 종속변수입니다. 따라서 원의 방정식 양변을 미분하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
여기에 x＝1/2, y＝√3/2을 대입하면 √3dy＝－dx라는 관계식을 얻습니다. 그러므로 주어진 점에서 원에 그린 접선의 기울기가 －1/√3이라고 결론 지을 수 있을 것 같습니다. 이것은 반지름과 접선이 수직이라는 잘 알려진 사실하고도 맞아떨어집니다. 하지만 지금까지 우리가 배운 내용만으로 위 과정을 정당화할 수 없습니다. 이 결론을 제대로 뒷받침하려면 다음 정리가 필요합니다. 정리 4. 3. 7. 한 점에서 미분가능한 두 변수 u와 v 사이에 v＝f(u)와 같은 관계가 성립한다고 하자. 그 점에서 u의 미분계수가 0이 아니고, 그 점을 포함하는 어떤 열린 구간에서 u가 연속이라면, 함수 f는 그 점에서 미분가능하며
이다. 증명. 0이 아닌 임의의 무한소 Δu에 대해, 독립변수가 dx만큼 변할 때 u가 정확히 Δu만큼 변하도록 만드는 그런 무한소 dx를 찾을 수 있으리라는 사실이 명백하다. 한없이 작은 영역에서 u를 x에 대한 일차함수로 어림할 수 있기 때문이다. 같은 이유로, 그렇게 찾은 dx가 Δu에 비해 어지간하리라는 사실 역시 명백하다. 그와 같은 무한소 dx에 대하여, 독립변수의 증분이 dx일 때 거기에 대응하는 v의 증분 Δv를 계산하면
이다. 이때 증분정리에 따르면
이도록 하는 무한소 ε이 존재한다. 그런데 dv＝(dv/du)du이고, εdx는 Δu에 비해 한없이 작으며, du≡Δu (mod dx) 즉 du≡Δu (mod Δu)이므로, 결국
이다. 그러므로 미분의 정의에 따라 함수 f는 미분가능하며, 미분계수의 정의에 따르면 구하는 미분계수 f'(u)는 dv/du와 같다. 원의 문제로 돌아가 보겠습니다. 미분을 계산하는 점 (x, y)＝(1/2, √3/2) 즉 θ＝π/3에서 dx＝－sinθdθ≠0이라는 사실은 분명합니다. 또한 코사인함수는 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속입니다. 그리고 y가 x의 함수로 주어지지는 않지만, 이를테면 0＜θ＜π와 같이 주어진 점을 포함하는 적당한 구간을 잡으면 y가 x에 대한 함수 f(x)로 주어지도록 만들 수 있습니다. 이 구간에 한해서 정리 4. 3. 7을 적용하면, 주어진 점에서 dy/dx의 값 －1/√3이 바로 f'(1/2)의 값이라는 사실을 알게 됩니다. x가 종속변수인데도 말입니다. 이런 예를 통해 볼 수 있듯이, dv/du라는 양을 u를 독립변수로 간주하여 계산한 v의 미분계수라고 부르는 것이 적당해 보입니다. 정리 4. 3. 7은 몇 가지 특수한 미분법을 쉽게 증명할 수 있도록 도와줍니다. 정리 4. 3. 8. 역함수의 미분법. 함수 f의 역함수 g가 존재한다고 하자. f가 c에서 미분가능하며 f'(c)≠0이고, 또한 f가 c를 포함하는 어떤 열린 구간에서 연속이라면, g는 f(c)에서 미분가능하며 그때의 미분계수는
으로 주어진다. 증명. 독립변수를 x라 하고 y＝f(x)라 하자. x＝c에서 dx/dy가 정의되므로
이와 같이 변형할 수 있다. x＝g(y)이므로, 정리 4. 3. 7를 이용하여 주어진 수식을 이끌어낼 수 있다. 역함수의 미분법을 이용하면 로그함수의 미분법으로부터 지수함수의 미분법을 간단히 도출할 수 있습니다. 문제 4. 3. 9. 다음을 증명하시오.
풀이. (1) 함수 f와 g를
이와 같이 정의하면 f와 g는 서로 역함수 관계이다. 이때 문제 4. 2. 4에서 밝힌 내용에 따르면 f는 미분가능하며 그 도함수는 f'(x)＝1/x (x＞0)으로 주어진다. 따라서 정리 4. 3. 8에 의하면 임의의 양수 c에 대하여
가 성립한다. 임의의 실수 x에 대하여 ex는 양수이므로, 위 식에 c＝ex를 대입하면 원하는 명제가 증명된다. (2) 혹은 정리 4. 3. 7을 한결 직접적으로 사용하는 방식으로 증명할 수도 있다. 독립변수를 x라 하고, 종속변수 y를
이와 같이 정의하자. 문제 4. 2 4에서 밝힌 내용에 따르면 양변을 미분하여
으로 쓸 수 있다. 그런데
이므로, 위 식을 다음과 같이 변형하면
y가 독립변수가 아님에도 불구하고 dy 앞의 계수를 'y를 독립변수로 간주했을 때 x의 미분계수'라고 할 수 있다. 이로써 원하는 명제가 증명된다. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법도 간단히 증명됩니다. 정리 4. 3. 10. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법. 독립변수 t와 t＝c에서 미분가능한 종속변수 x＝f(t), y＝g(t)에 대하여 y＝h(x)와 같은 관계가 성립한다고 하자. 만일 f'(c)≠0이고 또한 f가 c를 포함하는 어떤 열린 구간에서 연속이라면, h는 f(c)에서 미분가능하며 그때의 미분계수는
로 주어진다. 증명. dy/dx가 정의되므로 다음과 같이 계산할 수 있다.
정리 4. 3. 7을 적용하면 주어진 명제가 증명된다. 이로써 합성함수의 미분법, 역함수의 미분법, 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 따위 공식에서 나타나는 분수 계산이 겉으로만 그럴듯한 표기법에 지나지 않는 것이 아니라 참으로 미분끼리의 분수 계산에 해당한다는 사실이 밝혀집니다. 참고문헌 Bos, H. J. M. (1974). Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus. Archive for History of Exact Sciences 14: 1-90. Cajori, F. (1993). A History of Mathematical Notations (Vol. 2). Mineola: Dover Publications. Griffith, D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). New Jersey: Prentice Hall. Keisler, H. J. (2012). Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ed.). Mineola: Dover Publications. Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. Thornton, S. T., and Marion, J. B. (2004). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Belmont: Brooks/Cole. Thurston, H. (1994). What is wrong with the definition of dy/dx? The American Mathematical Monthly 101(9): 855-857. 結城浩 (2008). 『수학 걸』 (김정환 옮김). 서울: 동아일보사. 김창동 외 14명 (2015). 『고등학교 미적분 Ⅰ』. 서울: 교학사. 우정호 외 24명 (2013). 『고등학교 수학 Ⅱ』. 서울: 두산동아. 우정호 외 24명 (2013). 『고등학교 미적분 Ⅰ』. 서울: 두산동아 우정호 외 24명 (2013). 『고등학교 미적분 Ⅱ』. 서울: 두산동아. |
어떤 실수 a에 대해서도 주어진 직선이 지나지 않는 영역
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