참고 이 포스트를 검색을 통해 들어오신 분들은 유클리드 기하의 공리를 공부하시거나, 아래 포스트를 읽고 오시는 것을 추천드립니다! 기하학의 세계 포스트 1편 보고 오기 결합이 뭥미? 앞선 포스트에서 우리가 유클리드 공준 다섯 가지를 이해하기 전에 5가지 무정의 용어에 대해서 다루었던 것 기억나시나요? 점, 직선, 위에 있다, 사이, 합동 유클리드(와 여러 학자들은)는 위 5가지 용어를 구체적으로 정의하지 않고 받아들임으로써 공준을 전개했는데... 우리 수학자들은 상당히 불편러이기 때문에 "직선 위에 어떤 점이 존재한다는 사실을 공준들로부터 보장받을 수 있느냐?" 즉 무정의 용어 "위에 있다"를 받아들일 때 몇 가지 문제가 발생할 수 있다는 것이죠. 기하학을 설계하고 있는 여러 배경상에서 학자 개인이 받아들일 수 있는 직선의 개념은 서로 다를 수 있기 때문에, 단어와 기호에 대한 상호 이해가 있어야 한다는 절대적인 법칙에 어긋나게 됩니다. 그래서 앞으로는 점과 직선만을 무정의 용어로 삼고, 남는 세 가지 무정의 용어는 공리로써 새롭게 정의를 할 것입니다. 데이비드 힐베르트(David Hilbert 1862 ~ 1943)는 무정의 용어 위에 있다, 사이, 합동을 공리로써 정의하기 위해서 다음과 같이 공리군을 설계합니다. 위에 있다 → 결합공리군 사이 → 순서공리군 합동 → 합동공리군 (그 외 : 연속공리군, 평행공리군) 이번 포스트에서는 위에 있다, 즉 결합의 개념을 이용하여 결합공리군을 제시함으로써 기하학을 시작하기 위한 발판을 마련합니다. 3가지 결합공리 지금부터 논할 결합공리 3가지를 통해 결합기하학을 만들어 나갈 것인데, 앞서 다루었던 유클리드 공준이나, 무정의 용어 5가지가 전제된 것이 아니라 오직 무정의 용어 점, 직선 이 두 개만을 이용해서 논리를 전개할 것입니다. 즉 합동이나 순서와 같은 개념이 없는 것이죠. 결합기하학 (Incidense Geometry) [I-1] 임의의 서로 다른 점 P, Q에 대하여 P와 Q를 지나는 직선 l이 유일하게 존재한다. [I-2] 한 직선 l 위에는 항상 적어도 두 점이 존재한다. [I-3] 어떠한 직선도 그들 모두를 지날 수 없는 서로 다른 세 점이 존재한다. 지금부터 다룰 기하학의 우주는, 오로지 위 세 가지 공리, 세 가지 법칙만 존재합니다. 위 세 가지 만을 이용해서 도대체 무얼 할 수 있을까요? 결합공리 1을 보니, 유클리드 공준 첫 번째와 동일한 것을 알 수 있습니다. 네... 뭐 그렇습니다. 결합공리 1과 2에서 말하는, 직선이 점을 지난다, 혹은 점이 그 직선 위에 존재하는 성질을 결합이라고 합니다. 곧 위에 있다(lie on)=결합(incidense) 인 것이죠 용어 하나를 설명드리자면 결합공리 3을 만족하는 세 점을 non - collinear 이라고 표현합니다. 만약 세 점을 모두 지나는 직선이 있다면, 그 세 점은 공선점(collinear point) 라고 부릅니다. 결합공리 3에 의해서 결합기하학은 적어도 3개의 점을 가져야 한다는 것을 함의합니다. 이게 무슨말이냐면, 앞으로 어떤 명제를 증명하면서 3개 이상의 점을 도입하여 증명할 수 있다는 것을 의미합니다. 다시말해서, 점이 2개 이하로 존재하지는 않는다는 것이죠. 아래에서 좀 더 구체적으로 설명드리겠습니다. 어쨌든 일단 위 세가지 공리로부터 아래 5가지 참인 명제를 도출할 수 있습니다. 1. 평행이 아닌 서로 다른 두 직선은 오직 한 점에서 만난다. 두 직선이 평행하다는 것은 서로 만나는 점이 없다는 뜻입니다. 만약 두 점 이상에서 만난다고 가정해봅시다. 그렇다면 교점 2개를 골랐을 때 그 두 점을 지나는 직선은 유일하게 존재한다는 결합공리 1에 반하므로 모순입니다. 그래서 쉽게 증명가능합니다. 2. 임의의 직선에 대해 그 위에 있지 않은 점이 적어도 하나 존재한다. 결합공리 2에 의해 임의의 직선 위에 두 점이 존재합니다. 이 두 점을 P, Q라고 해봅시다. 그런데 우리는 아까 결합공리를 하면서 결합기하학은 적어도 3개의 점을 가져야 한다고 했습니다. 그래서 우리는 이 두 점과는 다른 또다른 점 하나를 가정할 수 있는데, 이 점을 R이라고 해봅시다. R은 P,Q와 함께 함께 결합공리 3을 만족하도록 잡을 수 있습니다. 즉 R은 P, Q를 지나는 직선 위에 있을 수 없다는 뜻입니다. 곧, 이 R은 P, Q가 지나는 직선 위에 있지 않은 점으로 존재할 수 있습니다. 3. 임의의 점에 대하여 그것을 지나는 직선이 적어도 하나 존재한다. 이 명제 역시 명제 2와 비슷한 방법으로 증명할 수 있죠. 먼저 임의의 점 P에 대해서, P와 함께 결합공리 3을 만족하는, 서로 다른 non-collinear한 점 Q, R을 잡을 수 있습니다. 결합공리 1에 의해서 Q와 R을 지나는 직선이 유일하게 존재합니다. 이 직선을 l이라고 합시다. P, Q, R은 결합공리 3을 만족하므로, 당연히 P는 l 위에 있지 않습니다. 고로, P를 지나지 않는 직선 l이 적어도 하나 존재합니다. 4. 임의의 점 P에 대하여 P를 지나는 직선이 적어도 두 개 존재한다. 임의의 점 P를 생각해서, P와 함께 결합공리 3을 만족하는, 서로 다른 non-collinear한 점 Q, R을 잡을 수 있습니다. 그러면, 결합공리 1에 의해서 P와 Q를 지나는 직선 l이 존재할 수 있고, P와 R을 지나는 직선 m이 존재할 수 있습니다. 만약 이 l과 m이 같다면, P, Q, R이 non-collinear라는 점에서 모순이 발생하므로 l과 m은 서로 다른 직선입니다. 따라서 P를 지나는 직선은 적어도 두 개 존재할 수 있습니다. 5. 한 점에서 만나지 않는 서로 다른 세 직선이 존재한다. 결합공리 3에 의해 non-collinear한 점 P, Q, R이 존재합니다. 결합공리 1을 적용하여서 P, Q를 지나는 직선 l Q, R을 지나는 직선 m R, P를 지나는 직선 n 을 생각해 봅시다. l, m, n은 명제 4의 증명과정에 사용했던 논리를 이용하여 서로 다른 직선임을 쉽게 알 수 있습니다. (점 P, Q, R에 대해서 모두 적용하면 됩니다) 이제 이 세 직선이 한 점에서 만난다고 가정해 봅시다. 만약 A가 P랑 다른 점이라면 문제가 발생합니다. P는 l과 n의 교점입니다. 그런데 A도 l과 n의 교점입니다. 즉 서로 다른 두 점을 지나는 직선이 유일하게 존재한다는 결합공리 1에 모순입니다. 따라서 A는 P와 같은 점입니다. 그러면 또 문제가 발생합니다. B는 m와 n의 교점이고, P도 마찬가지 입니다. 결합공리 1에 또 모순입니다. 그러면 P는 B와 같은 점이어야 합니다. A와 B는 같은점인데 P는 A B와 같은 점이라니, 모순이죠. 따라서 한 점에서 만나지 않는 서로 다른 세 직선이 존재할 수 있습니다. 해석과 모형 앞서 명제들을 증명하는 것은 오로지 우리가 설정한 결합 공리에 의해서만 증명되었습니다. 어찌되었건간 점과 직선은 무정의 용어였고 우리가 어떤 시스템(공리계)에 대해 점과 직선에 특별한 의미를 부여함으로써, 이렇게 부여된 의미와 기하학의 체계가 맞는지 확인할 수 있는데, 이렇게 어떤 무정의 용어에 의미를 부여하는 것을 공리계에 대한 해석(interpretation)이라고 부릅니다. 그럼으로써 무정의 용어에 대한 특별한 의미로 바뀐 공리계를 해석된 공리계라고 부릅니다. 그리고 우리가 어떤 공리계에서 점, 직선과 같은 무정의 용어를 해석하고, 정의했던 공리가 참임을 확인할 수 있다면 그 해석을 모형(model) 이라고 부릅니다. 아니, 공리는 증명하지 않고 참으로 받아들이는 명젠데, 공리가 참임을 보이라고? 이게 무슨 말이냐면, 우리는 여태껏 살아오면서 종이위에 펜으로 작게 찍은 것을 점, 볼펜으로 길게 그린 것을 선이라고 받아들였는데, 이젠 그런 관점을 깨부숴야 한다는 겁니다. 당연하게도 기하학을 이해하는데 그림은 없어서는 안될 존재이지만, 그림에 의해 잘못된 논리를 유발되는 것은 매우 흔한 일입니다. (이를테면 도형 문제 풀다가 답이 틀려서 풀이과정을 봤는데, 이건 왜 합동이니 라고 물었을 때 '그림을 보면...'으로 시작하여 그림에 속는 경우가 허다하죠...) (아래 링크는 모든 삼각형이 이등변삼각형이라는 이상한 명제에 대한 설명입니다. 관심있으신 분은 링크를 참조해주세요) 어쨌든 기하학에 있어서 그림은 도움이 될 수도 있고, 안될 수도 있는 위험한 녀석입니다. 특히 지금처럼 기초를 다지는 작업에 있어서는 더욱. (그래서 결합공리 설명드릴 때 제가 참고 그림 조차 그려두지 않은 이유이기도 합니다.) 우리는 점과 직선이라는 개념을 오로지 추상적인 대상들을 이용해서만 이해해야 합니다. 무정의 용어이므로 정의할 수 없는 건 여전합니다. 거지같죠? 그래도 우리는 흔히 직선을 집합으로, 점을 직선의 원소로써 해석하는 경향이 있습니다. 일단 이번 포스트에서 다룰 공리계는 위에서 했던 결합공리들이 만족하는 지, 그렇지 않은지만 판단할 것입니다. 이제부터는 제가 어떤 시스템을 제시할 것이고, 이 시스템에서 무정의 용어 점, 직선, 결합을 적절히 해석할 것입니다. 그랬을때, 이 시스템이 과연 결합공리 즉 결합기하학을 잘 만족하는지 곧 시스템이 결합공리 모형으로 채택될 수 있는지 판단할 것입니다. 그로써 공리들이 모형에서 해석이 잘 될 때 이들은 옳은 명제가 되며, 곧 우리가 다룰 시스템은 공리가 참인 곳에서만 다루어야 그 의미가 있기 때문에, 사실은 우리가 직접 결합공리가 참인 시스템을 만드는 것이죠. 일종의 실험실 처럼 말이죠. 그리고 그 시스템을 모형이라고 부르는 것이고요. 어떤 공리계에 대한 모형은 여러 개가 존재할 수 있습니다. 다시한번 강조드리지만, 지금껏 알고 있던 점과 직선에 대한 개념을 모두 버리고, 오로지 추상적인 대상으로만 인식해야 합니다. 결합기하학과 평행공준 3점 기하학이란, 점이 3개만 있는 계 입니다. 이 계에서 아래와 같이 무정의 용어를 해석할 때, 과연 이 계가 결합공리 세가지를 만족할 수 있는지 보자고요. 3점 기하학 세 문자로 된 집합 {A, B, C}에 대해서 문자 A, B, C 각각을 점이라 부른다. 두 문자로 이루어진 {A, B, C}의 부분집합을 직선이라 부른다. 어떤 문자(점)가 두 문자로 이루어진 부분집합(직선)의 원소일 때, 점이 직선 위에 있다(결합한다)고 한다. 위와같이 무정의 용어를 해석하게 되면 앞서 소개했던 결합공리들이 참임을 보일 수 있습니다. 간단하게 결합공리 1만 참인지 살펴보면 A와 B를 지나는 직선은 {A, B}로 유일합니다. B, C나 C, A도 마찬가지이고요. 일단 이 세 점만 있는 계, 즉 3점 기하학은 결합공리계의 모형이 되는 것입니다. 결합공리를 만족하므로, 증명했던 다섯 가지 명제가 참인 것은 덤이고요. 어쨌든 우리는 결합공리가 성립하는 실험실을 만들었습니다. 과연 이들만을 가지고 유클리드 기하학을 설명할 수 있는지 실험해봅시다. 가장 대표적인 유클리드의 평행공준이 성립할까요? 성립하지 않는다는 사실을 너무나 쉽게 알 수 있습니다. 계 {A, B, C}에 있는 모든 직선은 {A, B}, {B, C}, {C, A} 3개 뿐입니다. 이중 한 직선 {A, B}와 평행한 직선이 있을 까요? {B, C}와는 B에서 만나고, {C, A}에서는 A와 만나네요. 즉 {A, B}와 평행한 직선은 존재하지 않습니다. 곧, 3점 기하학에서는 평행선이 존재하지 않습니다. 뭔가 이상합니다. 그렇다면 결합공리계를 만족하는 계가 평행공준을 만족하지 않는다면, 결합공리계는 우리가 앞으로 만들어나갈 기하학에 적합하지 않는 공리들인가? 근데 그건 또 아닙니다. 3점 기하학 대신, 점 하나를 추가해서 4점 기하학을 만들어 봅시다. 4점 기하학 네 문자로 된 집합 {A, B, C, D}에 대해서 문자 A, B, C, D 각각을 점이라 부른다. 두 문자로 이루어진 {A, B, C, D}의 부분집합을 직선이라 부른다. 어떤 문자(점)가 두 문자로 이루어진 부분집합(직선)의 원소일 때, 점이 직선 위에 있다(결합한다)고 한다. 4점 기하학 역시 3점 기하학처럼 결합공리 3가지를 만족합니다. 따라서 결합공리계의 모형이라고 할 수 있습니다. 그런데, 4점 기하학은 평행공준이 성립합니다. 어짜피 직선은 모두 6개가 있으니, 6개의 모든 직선에 대해서 그 직선과 만나지 않는 직선이 각각 존재한다는 것만 보이면 됩니다.
 그림은 참고용일 뿐, 실제로 직선은 그림에 그려진 것과 같은 선분을 의미하지 않음 예를 들면 직선 {A, B}와 평행한 직선은 {C, D}로써 하나 존재하고, 다른 직선들에 대해서도 모두 평행한 직선이 하나씩 존재합니다. 이는 곧, 유클리드의 평행공준인 어떤 직선과 그 직선위에 있지않은 점을 지나고, 그 직선과 평행한 직선이 유일하게 존재한다 를 아주 잘 만족합니다. 차이점을 아시겠나요? 3점 기하학과 4점 기하학 모두 결합공리계의 모형임에도, 3점 기하학은 유클리드 평행공준을 만족하지 않고, 4점 기하학은 유클리드 평행공준을 매우 잘 만족시킵니다. 이것이 시사하는 바는 결합기하학에서 유클리드 평행공준, 이 명제는 참임을 증명할 수도, 거짓임을 증명할 수도 없는 명제임을 뜻합니다. 곧, 결합기하학의 공리들 만으로 유클리드 평행공준을 증명할 수 없음을 뜻합니다. 이렇게 어떤 명제가 주어진 공리계로부터 증명도, 부정도 할 수 없을 때 이 명제는 그 공리계로부터 독립적(Independent)이라고 합니다. 반대로 한 공리계의 언어로 표현된 모든 명제들이 그 공리들로부터 참, 거짓이 증명될 수 있다면 그 공리계는 완비적(Complete)이라고 합니다. 유한기하학과 평행성질 앞서 살펴보았던 3점 기하학, 4점 기하학 처럼 유한개의 점으로 이루어진 결합기하학을 유한기하학(finite geometry) 라고 합니다. 이 포스트에서는 3점, 4점, 5점 기하학을 다루어 볼건데, 각 공리계에서 만족하는 평행성이 의미가 있기에 지금부터 다루어보도록 하죠. (증명을 하지는 않을 것이지만, 3점 기하학, 4점 기하학, 5점 기하학 모두 결합 기하학의 모형입니다. 증명과정은 어렵지 않으므로 여러분들이 직접 확인해보시기 바랍니다.) 한 직선 l과 l 위에 있지않은 점 P에 대하여 P를 지나서 l과 평행인 직선은, 3점 기하학에서는 존재하지 않고 4점 기하학에서는 유일하게 존재하며 5점 기하학에서는 2개 이상 존재합니다. 3점 기하학에서 만족하는 평행선에 관한 성질을 타원평행성질(elliptic parallel property) 4점 기하학에서 만족하는 평행선에 관한 성질을 유클리드 평행성질(Euclidean parallel property) 5점 기하학에서 만족하는 평행선에 관한 성질을 쌍곡평행성질(hyperbolic parallel property) 라고 각각 부릅니다. 왜 타원평행성질이라 부르고, 왜 쌍곡평행성질이라 부르느냐,
지금 다룰 공리계는 한 구면에서 이루어지는데(타원체도 좋지만 이해를 돕기 위해 구로 하겠음) 점을 구면 위의 점으로, 직선을 이 구면의 북극점 N을 지나는 대원에서 북극점 N을 뺀 것 결합은 점이 대원 위에 있는 것으로 해석합시다. (대원 : 구면 위의 점과 그 정 반대 점을 지나는, 구면 위의 원) 이 구면에서 위와같이 해석하면 결합공리 3가지를 모두 잘 만족하여 결합기하학의 모형이 됩니다. 사실 직선을 N을 뺀것으로 정의하지 않으면, 공리 1을 만족하지 않기에 뺀 것으로 정의함으로써 공리를 만족하도록 설계했습니다. 이 공리계는 유클리드 평행성질을 만족하지 않습니다. 직선 하나를 생각하면, 즉 대원을 하나 생각하면 아무리 다른 직선을 생각해도 N의 반대, 즉 남극점에서 항상 교차하기 때문에 평행선이 존재하지 않습니다. 이런 차원에서, 타원체에서는 평행선이 존재하지 않는다. 3점 기하학은 타원평행성질을 만족한다 라고 설명할 수 있겠습니다. 5점 기하학에서는 한 직선에 대해서, 그 직선 위에 있지 않은 점을 지나는 평행선이 2개 존재합니다.
이해를 돕기 위한 사진이므로 참고만 할 것 예를 들어서 직선 {A, C}는 직선 {B, D}와 직선 {D, E}, 직선 {B, E} 교점이 존재하지 않으므로 평행합니다. 나머지 9개의 직선에 대해서 조사해보면 모두 평행한 직선이 2개 이상, 3개씩 존재합니다. (다시한번 말씀드리지만 위 그림은 참고용이고, 실제로는 집합과 그 관계로써 교점이 없다는 설명을 해야 합니다) 어쨌든 5점 기하학에서는 유클리드 평행공준을 역시 만족하지 않습니다. 평행선은 있는데, 유일하지 않고 여러개 존재하거든요. 가장 대표적인 예시가 쌍곡면에서 볼 수 있는데,
쌍곡면은 쌍곡선을 주축의 수직이등분선을 따라 회전시킨 회전체입니다. (단면의 주축 방향, 수직방향으로 확대변환 한 입체도 포함합니다) 이 쌍곡면에서 점을 쌍곡면 위의 점 직선을 쌍곡면의 단면으로 발생한 두 곡선 중 하나 결합을 쌍곡면의 단면으로 발생한 두 곡선 중 하나에 대해 그 곡선 위에 점이 있을때 와 같이 무정의 용어를 해석하면, 위 쌍곡면은 결합공리 3가지를 잘 만족시킵니다. 그런데 그림처럼 어떤 직선 l에 대해 l위에 있지 않은 점 P에 대해서, 단면을 여러방향으로 자를 수 있기에 l과 만나지 않게 여러 직선을 생성할 수 있습니다. 즉, 한 직선에 대해 한 점을 지나는 평행선이 무수히 많이 존재하지요. 이렇게 2개 이상 존재하는 경우 쌍곡평행성질을 만족한다고 합니다. 이로써, 결합기하학의 한계를 살펴볼 수 있었고 해석과 모형에 대한 지식을 갈고 닦을 수 있었네요. ㅎㅎ... 범주적인 모형 극단적인 경우, 어떤 공리계가 주어졌을 때, 그 공리계로 만들 수 있는 모든 모형들이 서로 동형인 경우가 있습니다. 이를테면 두 집합 A, B에 대해서 A에서 B로 가는 전단사함수(일대일 대응)가 존재할 때, 두 집합은 동형(isomorphic)이다라고 합니다. 그리고 이 함수 f를 A, B의 동형사상(isomorphism)이라고 합니다. 대표적인 예시로, 완비순서체와 실수의 집합 사이에 동형사상이 존재하여, 완비순서체는 본질적으로 실수의 집합과 같다는 정리가 있죠. 이 내용에 대해 궁금하신 분은 아래 링크를 참조해주세요! 어쨌든, 공리계로부터 만든 모형들이 모두 동형이라면, 즉 본질적으로 모형들이 모두 같다면, 우리는 그 공리계를 범주적 공리계(categorical axioms)라고 부릅니다. 이번 포스트에서 다루었었던 3점 4점 5점 기하학은 모두 결합공리계의 모형이었지만, 유클리드 평행공준에 대한 참 거짓이 제각기 달라 동형이 아니었기에 결합공리계는 범주적이라고 할 수 없습니다. 우리의 목표는, 범주적 공리계를 만들어 일종의 완비적인 공리들만을 설계해야 합니다. 그렇기에, 다음 포스트에서는, 유클리드 평행공준에 대해 완비적이기 위한 공리계를 설계하기 위한 다음 단계인 순서공리군, 합동공리군에 대해서 다룰 것입니다. 일단 이번 포스트의 의의는, 결합 즉 위에 있다는 무정의 용어를 공리로써 납득한 것이죠. 뭐... 조촐하긴 하지만 의미가 매우 크기에 뿌듯하네요. 어쨌든 이번 포스트는 여기까지 입니다. 기하학 포스트는 계속될 것이니, 블로그 이웃추가로 구독하셔서 다음 포스트도 읽어주시길 간절히 바랍니다. 긴글 읽느라 수고 많으셨습니다! 계속해서 힐베르트 공리군을 학습하시고 싶으시면 아래 링크를 클릭하세요 (류모찌의 상용로그 페북 페이지 팔로우와 좋아요해주시면 실시간으로 정보얻기 ㅆㄱㄴ) |
어떤 실수에 대해서도 주어진 직선이 지나지 않는
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